Segundo examen: potencias y raíces

Vamos a hacer el segundo examen. En este examen habrá preguntas que hemos visto en las siguientes entradas del blog:

• Potencias de números naturales
• Potencias de base 10
• Expresión de un número mediante suma de potencias de 10
• Cuadrados y cubos
• Raíces cuadradas
• Problemas de potencias y raíces

MUY IMPORTANTE: En este segundo examen también habrá preguntas del primer examen.

Para preparar los contenidos vistos en el tema 2, tienes que hacer la siguiente tarea obligatoria: realiza este ejemplo de examen. Haz los ejercicios en el cuaderno y enséñamelos. ¡No olvides poner fecha y título siempre en el cuaderno!

El examen será el próximo jueves 18 de noviembre.

Tarea opcional: mándame un email contándome qué has aprendido en este tema, qué te ha gustado más y qué se te ocurre que podemos hacer para aprender todavía más.

1º ESO. Ejemplo de examen de potencias.

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Problema de la semana (1)

Nueva sección: cada semana propondré un problema para pensar un poco más. El primero que lo resuelva que escriba la solución mediante un comentario a esta entrada. Además, debe ser capaz de explicar el proceso de resolución. Puede elegir entre escribir el proceso en el mismo comentario o salir a la pizarra y explicarlo al resto de compañeros. Resolver un problema de la semana tendrá más valor que el resto de tareas opcionales.

El primer problema es el siguiente:

Rebeca está muy feliz y quiere distribuir un mensaje de felicidad entre sus amigos. El mensaje es el siguiente: "No rompas la cadena de la FELICIDAD. Reenvía mañana este mensaje a cuatro amigos y la felicidad llegará a tu vida". Rebeca va a mandar este mensaje a cuatro amigos. Cada uno de ellos, al día siguiente, mandará el mismo mensaje a otros cuatro amigos distintos. Y así sucesivamente. Por tanto, el primer día Rebeca manda los primeros cuatro mensajes y el segundo día sus cuatro amigos mandan cada uno cuatro mensajes más. Si sigue la cadena, ¿cuántos mensajes se mandarán el séptimo día?

Piensa un poco y ¡suerte!

photo © 2006 Mario Antonio Pena Zapatería | more info (via: Wylio)

Problemas de potencias y raíces

Primera entrada sobre problemas matemáticos. En este caso vamos a ver problemas que se puedan resolver mediante el uso de potencias y raíces cuadradas. En particular vamos a detenernos en dos tipos de problemas que tienen que ver con cuadrados.

Cálculo de la superficie de un cuadrado conociendo cuánto mide el lado.

Para calcular el área o superficie de un cuadrado basta con elevar al cuadrado el lado. Hay que prestar atención a las unidades de medida, ya que para el lado necesitamos una unidad de medida de longitud y para el área una unidad de medida de superficie.

Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 cm de lado. ¿Cuánto mide su área?

Para hallar el área elevamos 4 al cuadrado, que es 16. Por tanto, su área mide 16 centímetros cuadrados.

Cálculo del lado de un cuadrado conociendo cuánto mide su área.

Para calcular el lado de un cuadrado basta con hallar la raíz cuadrada de su área. De nuevo, hay que prestar atención a las unidades de medida.

Ejemplo:

Calcula el lado de un cuadrado de 25 metros cuadrados de superficie.

Para hallar el lado calculamos la raíz cuadrada de 25, que es 5. Por tanto, su lado mide 5 metros.

La tarea que tienes que realizar es resolver esta lista de 7 problemas en tu cuaderno. Copia los enunciados en tu cuaderno y resuelve los problemas indicando claramente la solución.

Como primera tarea opcional, inventa otro problema en el que haya que usar potencias o raíces para resolverlo y escríbelo en un comentario de esta entrada. Escribe sólo el enunciado del problema, no su solución. Iré escribiendo los problemas correctos en la lista anterior.

Como segunda tarea opcional, resuelve en tu cuaderno un problema que haya inventado un compañero. Copia en tu cuaderno el enunciado del problema de tu compañero y resuélvelo.

Raíces cuadradas

La operación inversa de "elevar al cuadrado" un número es hallar su raíz cuadrada. Pincha aquí y sigue los pasos que se indican para entender esta nueva operación.

Ejemplos de raíces cuadradas:

se lee "la raíz cuadrada de 9 es 3",

se lee "la raíz cuadrada de 49 es 7",

se lee "la raíz cuadrada de 144 es 12".

Se llama radicando al número que hay bajo el signo de la raíz. Sólo los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. Los números naturales que no son cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada entera. Como tarea, escribe en tu cuaderno cinco ejemplos más en los que calcules la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Indica en cada caso cómo se lee y quién es el radicando.

La siguiente tarea es completar el documento que ya hiciste sobre cuadrados perfectos. He añadido una nueva columna que debes completar: "Raíz cuadrada". Rellena los huecos siguiendo los ejemplos. Aquí tenéis los enlaces a vuestros documentos:

• Agustín y Manuel
• Anabel y Alejandro
• Samira
• Antonio y Badredin
• José y Daniel
• Fátima y Carolin

Hasta aquí las tareas obligatorias de raíces cuadradas.

Como primera tarea opcional, investiga las raíces cuadradas enteras. Un número natural que no es un cuadrado perfecto no tiene una raíz cuadrada exacta. Sin embargo, sí podemos calcular su raíz entera por defecto y, además, indicamos el resto que nos sobra. Ejemplos:

se lee "la raíz cuadrada de 10 es 3 y el resto es 1",

se lee "la raíz cuadrada de 24 es 4 y el resto es 8",

se lee "la raíz cuadrada de 40 es 6 y el resto es 4".

La tarea consiste en calcular la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números:

11, 23, 38, 48, 56, 65, 95, 200, 250 y 480.

Puedes ayudarte usando la segunda escena de esta página de Descartes.

Como segunda tarea opcional, busca otra página donde se expliquen más propiedades sobre las raíces e indícala mediante un comentario a esta entrada. Debes indicar claramente la página y qué propiedad nueva puedes estudiar en ella. Como siempre, no puedes repetir una página que ya haya sido indicada por un compañero.

Imagen generada con Wordle.

Cuadrados y cubos

Vamos a estudiar ahora las potencias que tienen de exponente 2 y 3. Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3, cubos. Practica aquí y aquí por qué se llaman así.

El resultado de una potencia de exponente 2 es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto ya que es 3 al cuadrado.

El resultado de una potencia de exponente 3 es un cubo perfecto. Por ejemplo, 27 es un cubo perfecto ya que es 3 al cubo.

La tarea obligatoria que tienes que hacer es la siguiente. Completa el documento que te indicará el profesor con un compañero. Se trata de una lista de los primeros cuadrados perfectos y los primeros cubos perfectos. Debes aprenderte la lista de los primeros cuadrados perfectos hasta el 225.

La tarea obligatoria es completar el documento hasta 20^2 y 20^3. Como tarea opcional, completa el documento hasta 40^2 y 40^3.

Documentos de los alumnos:

• Agustín y Manuel
• Anabel y Alejandro
• Samira
• Antonio y Badredin
• José y Daniel
• Fátima y Carolin

Cubo de Rubik. Imagen del banco de imágenes y sonidos del ite.

Expresión de un número mediante suma de potencias de 10

Otra utilidad de las potencias de base 10: escribir un número natural como una suma de potencias de 10. Esta forma de escribir un número también se llama expresión polinómica del número. Veamos cómo se hace. Nuestro sistema de numeración decimal también es posicional. Esto quiere decir que cuando escribimos 4 523 realmente queremos decir:

Teniendo en cuenta que 4 000 = 4 x 1 000, 500 = 5 x 100 y 20 = 2 x 10, entonces:



Y sustituyendo por potencias de base 10:

Como tarea escribe en tu cuaderno la expresión de los siguientes números mediante suma de potencias de base 10:

328, 502, 3 976, 7 823, 8 061, 12 470, 25 811, 47 908, 80 345, 623 105,

y cinco números más de tu invención con al menos 4 cifras.

Potencias de base 10

Vamos a detenernos en las potencias que tienen base 10. Fíjate cómo calculamos las siguientes potencias:

¿Sabrías alguna regla para calcular rápidamente una potencia de 10? Escríbela en tu cuaderno junto con cuatro ejemplos de potencias de 10. Si no se te ha ocurrido, puedes descubrirla aquí. Aprovecha la página anterior para practicar la regla y para descubrir el uso de las potencias de 10 para escribir números grandes.

La siguiente tarea va a ser crear un documento entre todos. Pincha aquí para acceder a una hoja de cálculo que vas a tener que modificar. La tarea es la siguiente: piensa o busca (en internet, por ejemplo) un objeto cuyas dimensiones sean parecidas al valor de una potencia de base 10 en metros. Debes rellenar una fila del documento. En dicha fila debes completar las columnas: "Alumno", "La potencia se lee", "Valor", "El valor se lee" y "Ejemplo de medida de un objeto en METROS".

Hasta aquí las tareas obligatorias de potencias de base 10.

Como tarea opcional, cuando todos tus compañeros hayan rellenado su fila de la hoja de cálculo de potencias, puedes rellenar otra fila más.

Vista desde el espacio de la Tierra y la Luna.

Imagen del banco de imágenes y sonidos del ite.